平方数怎么计算出来的（长方形平方数怎么计算出来的）-币百科

BOOK 1

方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？

答曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

今有圭田广十二步正从二十一步。问为田几何？

答曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？

答曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

原文

〔一〕今有田广十五步，从十六步^[1]。问为田几何？

答曰：一亩。

〔二〕今有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步。

方田术^[2]曰：广从步数相乘得积步^[3]。以亩法^[4]二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

注释

[1]广：宽。从：长。

[2]方田术：指方形（含长方形、正方形）田地的计算问题。术：计算法则。

[3]积步：边长以步为单位的面积的平方步数，即长（步）×宽（步）。

[4]亩法：即由平方步化为亩时所用的除数240。同理“顷法”即是由亩化为顷所用的除数100。

译文

〔一〕已知某块田地宽15步，长16步。问这块田地的面积是多少？

答：这块田地面积为1亩。

〔二〕已知某块田地宽12步，长14步。问这块田地的面积是多少？

答：168（平方）步。

方形（含长方形、正方形）田地的算法是：长宽相乘得其面积——平方步数。以亩法240平方步数除所得面积——平方步数，即为亩数。100亩为1顷。

译解

〔一〕如图1－1，所求田数为：

15步×16步＝240平方步＝1亩。

（图1－1）

〔二〕参见图1－1，所求田数为：

12步×14步＝168平方步。

术解

〔1〕积步＝广×从。

〔2〕亩数＝积步÷240平方步。

〔3〕1顷＝100亩。

记录长江水位的礁石图为重庆涪陵长江河道中的一块巨大礁石,上面记刻从唐代至民国时期1200多年长江枯水位数据。这是中国自古对水位测量、记录的见证文物。

原文

〔三〕今有田广一里，从一里。问为田几何？

答曰：三顷七十五亩。

〔四〕又有田广二里，从三里。问为田几何？

答曰：二十二顷五十亩。

里田术^[1]曰：广从里数相乘得积里^[2]。以三百七十五乘之，即亩数。

注释

[1]里田术：计算边长以里为单位的田地面积单位。

[2]积里：边长以里为单位的面积的平方步数，即长（里）×宽（里）。

译文

〔三〕已知某块田地宽1里，长1里。问这块田地的面积是多少？

答：这块田地的面积是3顷75亩。

〔四〕已知某块田地宽2里，长3里。问这块田地的面积是多少？

答：这块田地面积为22顷50亩。

边长以里为单位的田地的算法是：宽里数×长里数=面积（平方里）；将所得（以平方里为单位）的面积×375亩，即为所求的亩数。

译解

〔三〕1里＝300步，1亩＝240平方步，1顷=100亩。

面积：（300步×300步）÷240＝375亩；375亩÷100＝3顷75亩。

〔四〕所求田数为：

2×3×375亩＝2250亩；

2250亩÷100＝22顷50亩。

术解

〔1〕积里＝广（里）×从（里）。

〔2〕亩数＝积里×375亩。

棋局北宋科学家沈括喜好围棋，曾用数学的方法研究围棋的奥妙，并计算出围棋变化的极限数量。根据他的计算，围棋变化的极限数量大约是“连书万字五十二”，用现代数学表示是10连乘208次，即1.0×10208。此计算方法的科学性尚待考证，然而，不可否认的是围棋与数学的密切关系。

原文

〔五〕今有十八分之十二，问约之得几何？

答曰：三分之二。

〔六〕又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术^[1]曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

注释

[1]约分术：通分的法则。

译文

〔五〕今有，问约分后得多少？

答：。

〔六〕又有，问约分后得多少？

答：。

约分的法则是：若分子、分母均为偶数时，可先被2除，否则，将分母与分子分列一处，然后以小数减大数，辗转相减，求它们的最大公约数，用最大公约数去约简分子与分母。

译解

〔五〕6是12与18的最大公约数，所以。

〔六〕7是49与91的最大公约数，所以。

术解

（以卷第一题〔六〕为例）

〔1〕可半者半之：分子、分母均为偶数，可先被2除。

〔2〕不可半者……求其等也：等，即等数，最大公约数。

欲求49与91的最大公约数，将两数分列一处。先由91－49，余42，再由49－42，余7；进一步由42－7五次余7，结果是：左右两边余数相等。这相等的余数7就是49和91的最大公约数。

“更相减损”求最大公约数的方法，是中国古代数学家的伟大创举，与欧几里得《几何原本》卷七第一题所论相同。钱宝琮《中国数学史略》说：“意大利人班乞奥利于1494年写的一本算术书，求最大公约数也用更相减损法。他自己说这种方法是六世纪中罗马数学家波伊替斯所传下的方法，它的渊源或者还是从中国传去的。”现在求两数的最大公约数所用的辗转相除法，是由“更相减损”法演变而来的。

〔3〕以等数约之：用7对约分，所得：。

彩陶　仰韶遗址图为仰韶文化遗址中出土的彩陶。在这些彩陶上发现了很多刻画符号，这很可能就是数字的起源，是我国最早的记数符号。除了这些刻符，数的概念和应用也在许多陶画中反映出来。在陶画的制作过程中，图案组合中每一纹饰的大小与位置都要经过计算，这说明当时的人们已经掌握了数字规律，具备了离开实物数数的能力。

原文

〔七〕今有三分之一，五分之二。问合之得几何？

答曰：十五分之十一。

〔八〕又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？

答曰：得一、六十三分之五十。

〔九〕又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分术^[1]曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之，其母同者，直相从之。

注释

[1]合分术：分数相加的运算法则。

木斗水车木斗水车是一种从井中提水的工具。它用木斗代替刮水板，使一串木斗相连，套在井边的立轮上。当立轮转动时，木斗连续上升提水。图为木斗水车的结构示意图。

译文

〔七〕现有，，问相加得多少？

答：。

〔八〕又有，问三数相加得多少？

答：。

〔九〕又有，问四数相加得多少？

答：。

分数相加的法则是：以诸分母与诸分子交互相乘，所得诸乘积相加之和作为被除数，而以诸分母相乘之积作为除数。以除数除被除数，若除之不尽，则以余数为分子，除数为分母，得一分数。若诸分数之分母相同，则可以用分子直接相加。

译解

术解

（以卷第一题〔八〕为例）

〔1〕母互乘子，并以为实。

母互乘子：2×7×9＝126，4×3×9＝108，5×3×7=105。并以为实：加在一起作为被除数，126＋108＋105＝339。

〔2〕母相乘为法：3×7×9＝189为除数。法：指除数。

〔3〕实如法而一：在被除数中，凡够等于除数的部分，则进而为1（比如：339就可以提取一个189）。

〔4〕不满法者，以法命之：指相除不尽，所得余数，以实为分子，法为分母组成一分数。如：339－189＝150作余数，150作分子，189作分母，，约为，结果是：。

〔5〕其母同者，直相从之：分母相同的，分子直接相加。

如。

原文

〔一〇〕今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

答曰：四十五分之三十一。

〔一一〕又有四分之三，减其三分之一。问余几何？

答曰：十二分之五。

减分术^[1]曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。

注释

[1]减分术：分数相减的运算法则。

译文

〔一〇〕现有，减去。问差是多少？

答：。

〔一一〕又有，减去。问差是多少？

答：。

分数相减的运算法则是：分母与分子交叉相乘，从多数里减去少数，余数作被除数，而以分母相乘作除数，以除数除被除数得结果数。

译解

〔一〇〕。

〔一一〕。

术解

（以卷第一题〔一〇〕为例）

〔1〕母互乘子，以少减多，余为实。

母互乘子：分母与分子交叉相乘。

5×8＝40，1×9＝9。

以少减多：从多的数里减去少数，40－9＝31。余为实：相减的结果31为余数，作被除数（即“实”）。

〔2〕母相乘为法：分母相乘作除数（即“法”），即9×5＝45。

〔3〕实如法而一：除数除被除数得结果：即31÷45＝。

河图据称伏羲氏统治天下时，黄河里跃出一匹马，马背上驮一幅画，上面有黑白点五十个，用直线连成十数，后人称之为“河图”。“河图”总共记有十数，故又称“十数图”。“河图”的意义有三：一是用数为五行定方位；二是推演五行生成数；三是以大衍数之理对人与天地相应整体观进行科学抽象。

原文

〔一二〕今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？

答曰：二十五分之十六多；多二百分之三。

〔一三〕又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

答曰：九分之八多；多六十三分之二。

〔一四〕又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？

答曰：二十一分之八多；多一千五十分之四十三。

课分术^[1]曰：母互乘子，以少减多，余为实母相乘为法；实如法而一，即相多也。

注释

[1]课分术：比较两数的大小，并考核较大分数比较小分数大多少。

译文

〔一二〕今有。问哪个分数大？大多少？

答：大，大。

〔一三〕又有，问哪个分数大？大多少？

答：大，大。

〔一四〕又有，问哪个分数多？多多少？

答：多，多。

比较分数大小的运算法则是：分母与分子交叉相乘，从大数里减去小数，所得作被除数（新的分子）；分母与分母相乘作除数（新的分母）；以除数去除被除数所得的结果，即为多出之数。

石斧商朝农业生产者由两种身份的人组成，一为“邑人”，即乡村的氏族成员，他们以家为单位耕种公地，收获归己；二为“众人”，即从事劳动的奴隶，他们耕种商王或贵族占有的土地，收获归商王或贵族所有。图中石斧是邑人和众人耕田的常用工具。

译解

〔一二〕，两数比较，大，多出的数为：。

〔一三〕，两数比较，大，大出的数为：。

〔一四〕，

两数比较，大，大出的数为：。

术解

（以卷第一题〔一四〕为例）

〔1〕母互乘子：8×50＝400，17×21＝357。以多减少：400－357＝43。余为实：43作被除数（新的分子，即“实”）。

〔2〕母相乘为法：21×50=1050为除数（新的分母，即“法”）。

〔3〕实如法而一，即相多也：为一新结果，也就是所多的部分。

竹竿提水图　《天工开物》插图竹竿提水即选择大小两根竹竿相接，竹竿中部架在作为杠杆的竹梯上，并固定另一端头；较小竹竿另一端系一水桶。其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿下压用力，从而提水出井。当放松大竹竿时，小竹竿下降，桶就会再次回到井里。图为古人用竹竿提水的情景。

原文

〔一五〕今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何^[1]而平^[2]？

答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

〔一六〕又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分术^[3]曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者，各自为列实，亦以列数乘法。以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。

注释

[1]几何：多少。

[2]平：平均数。

[3]平分术：计算分数的平均算法。

巨野铜漏巨野铜漏于1977年在山东巨野县红土山西汉墓出土。器作圆筒形，素面。高79.3厘米，口底直径各47厘米，壁厚0.7厘米，重74公斤。腹中部饰有两个对称铜环，距器底5厘米处有一圆孔，是铜漏的出水口。漏刻是人类生活中的重要计时工具。图为巨野铜漏线图。

译文

〔一五〕今有。若减多增少，这三个数各增多少或各减多少才能得到它们的平均数？

答：从中减去，从中减去，并将减下来的、都加给，则3个数均等于其平均数。

〔一六〕又有。若减多增少，这三个数各增多少或各减多少才能得到它们的平均数？

答：从中减去，从中减去，将减下来的都加给，则3个数均等于其平均数。

分数平均的运算法则是：以诸分母与诸分子交叉相乘，另将乘得的积相加，作为平均数的分子（平实）；以诸分母相乘为除数。以列数（即分数个数）去乘（通得的）各列分子作为该列的新分子（列实）。同样又以列数去乘“法”为新分母。以“平实”去减各（较大的）“列实”，所得余数（与新分母）约简，即为（大数）应减之数。将所减各数之和增加于较小数，这样，各列分子皆为“平实”。以“平实”为分子，相应除数为分母，则各数皆得其平均分数。

译解

〔一五〕先求这3个数的平均数：，

以平均数分别去减这3个数，可得：。

〔一六〕先求这3个数的平均数：，

将平均数分别去减这3个数，可得：。

《鱼鳞清册》书影万历九年，张居正为增加政府收入，下令在全国范围内清丈土地，编制《鱼鳞清册》。图为某地十六清丈鱼鳞图册，即此次清丈全国土地的记录。它以“商”字编号，从商字1号至商字2142号，共绘制2142块地形，以及所有者的姓名等内容。这年全国共清查出隐瞒土地147万顷。

术解

（以卷第一题〔一六〕为例）

〔1〕母互乘子：分母与分子交叉相乘，3个数为，按“母互乘子”得3组数如下：1×3×4＝12，2×2×4＝16，3×2×3＝18。

〔2〕副并为平实：另将“母互乘子”3数相加作为平均数的分子。并：相加；平实：平均数的分子，本题“平实”=12＋16＋18=46。

〔3〕母相乘为法：2×3×4＝24。

〔4〕以列数乘未并者：

3（列数）×

〔5〕各自为列实：另作一组分子即〔4〕中36、48、54。

〔6〕列数乘法：

3（列数）×24（见〔3〕）＝72。

〔7〕平实减列实：以大于平实46的列实48、54减去46，即48－46＝2，54－46＝8。2，8为余数。

〔8〕余，约之为所减：将余数2，8与分母72相约，以最大公约数2相约得，即为所减之数，即“答曰”所示“减三分之二者一，四分之三者四”，其中一、四指的分子数。

〔9〕并所减以益于少：将所减的数之和加给小于“平实”46的“列实”36被2约分之后的18，即18＋5＝23。

〔10〕以法命平实，各得其平：“平实”46（见〔2〕），“法”72（见〔6〕），“以法命平实”即，约2得。各得其平。经过减多益少，3个数均等于它们的算术平均数，即：。

北朝·魏铜砣铜砣腹作五瓣瓜棱形，上下饰大小相间的花瓣，在瓜棱凸起部位刻铭文15行。图为北朝·魏铜砣，铜砣底部，刻有一“平”字。上为铜砣正面图。

原文

〔一七〕今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？

答曰：人得一钱二十一分钱之四。

〔一八〕又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？

答曰：人得二钱八分钱之一。

经分术^[1]曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。重有分者同而通之^[2]。

注释

[1]经分术：分数相除的运算法则。

[2]重有分者同而通之：若分母、分子都有带分数的，均需化为假分数运算。

译文

〔一七〕现有7人，分钱。问每人平均得钱多少？

答：每人得钱。

〔一八〕又有人，分钱和钱。问每人平均得钱多少？

答：每人得钱。

分数相除的运算法则是：以人数作除数，以钱数作被除数，除数除被除数得结果。若除数、被除数中有带分数，应化为假分数。

译解

〔一七〕钱÷7＝钱。

〔一八〕钱÷＝钱。

压土　《天工开物》插图古代南、北种麦有分别，南方在耕地后，以灰拌种，手指拈而播种。种过之后，以脚跟压紧泥土。北方则是以驴车压。图为北方农民在播种后赶驴子压土的情景。

术解

（以卷第一题〔一七〕为例）

〔1〕以人数为法，钱数为实，实如法而一：钱÷7＝钱。

〔2〕有分者同而通之：如将化为，这样便于运算。

原文

〔一九〕今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

〔二〇〕又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？

答曰：十一分步之七。

〔二一〕又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分术^[1]曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

注释

[1]乘分术：分数相乘的运算法则。

张衡张衡（公元78—公元139年），字平子，河南南阳西鄂（今河南南阳市石桥镇）人，精通天文历算，曾两任执管天文的太史令。他创制了世界上最早利用水力转动的漏水浑天仪和测定地震方位的候风地动仪；首次正确解释月食是由月球进入地影而产生的；观测和记录了中原地区能看到的2500颗星，并且绘制了中国第一幅较完整的星图。

译文

〔一九〕今有田宽步，长步，问这块田面积是多少？

答：平方步。

〔二〇〕又有田宽步，长步，问这块田的面积是多少？

答：平方步。

〔二一〕又有田宽步，长步，问这块田的面积是多少？

答：平方步。

译解

〔一九〕所求田面积为：平方步。

〔二〇〕所求田面积为：平方步。

〔二一〕所求田面积为：平方步。

术解

（以卷第一题〔二一〕为例）

〔1〕母相乘为法：分母相乘作除数，5×9＝45。

〔2〕子相乘为实：分子相乘作被除数，4×5＝20。

〔3〕实如法而一：除数除被除数得所求结果，20平方步÷45＝平方步＝平方步。

播种　《天工开物》插图古人在播种时很讲究，种子之间的距离有一定规范，如寓距为三寸，行距为八寸，行窝太窄，则不利于幼苗成活；行窝太宽，则不利于更多地播种，这也会影响到农民的收成。可见，在农作物播种时同样会涉及到数学计算。

原文

〔二二〕今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二。问为田几何？

答曰：十八步。

〔二三〕又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五。问为田几何？

答曰：一百二十步九分步之五。

〔二四〕又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问为田几何？

答曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田术^[1]曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。

注释

[1]大广田术：长宽为带分数田的运算法则。

译文

〔二二〕现有田宽步，长步，问这块田的面积是多少？

答：18平方步。

〔二三〕又有田宽步，长步。问这块田地的面积是多少？

答：平方步。

〔二四〕又有田宽步，长步。问这块田的面积是多少？

答：1亩平方步。

长、宽皆为带分数的田的算法是：各以分母乘其整数部分，再加上分子（组成一和），然后相乘作被除数。以分母相乘作除数。以除数去除被除数求得结果。

水车灌溉　《天工开物》插图古代灌溉农田，使用的是木制的汲水装置——龙骨水车。这种水车主要由木链、刮板等组成。通常安放在河边，下端刮板伸入水中，利用链轮传动原理，再加上人力（或畜力）带动木链翻转，这样装在木链上的刮板就能把河水提升到农田里进行灌溉。图为以牛带动木链翻转灌溉田地的情景。

译解

〔二二〕＝18平方步。

〔二三〕平方步。

〔二四〕。

术解

（以卷第一题〔二四〕为例）

分母各乘其全，分子从之，相乘为实，分母相乘为法：各以分母乘它的整数部分，再加上分子（组成一和），然后相乘作被除数。

原文

〔二五〕今有圭^[1]田广^[2]十二步，正从^[3]二十一步。问为田几何？

答曰：一百二十六步。

〔二六〕又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？

答曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

注释

[1]圭：圭形，指三角形。

[2]广：三角形底边长。

[3]正从：三角形底边上的高。

彩陶　仰韶遗址图为仰韶文化遗址中出土的彩陶。陶画的创作也促进了几何学的诞生，许多图形的完成都需要数学知识和几何知识参与才行。如正方形、等腰三角形的绘制必须要有一定线段等长的概念，又如画多角形，则必须在圆的基础上运用圆的等分计算才能做出。而大地湾仰韶早期等遗址发现的彩陶上已经出现了绘制得很标准的直角三角形、等腰三角形等，说明当时人们已经能够熟练运用这些几何图形来创造完美的图案了。

译文

〔二五〕今有三角形田底边长12步，底边上的高21步。问这块田的面积是多少？

答：126平方步。

〔二六〕又有三角形田底边长步，底边上的高是步。问这块田的面积是多少？

答：平方步。

运算法则是：底边长的乘底边上的高。

译解

〔二五〕如图1－2，所求田面积为：

×12步×21步＝126平方步。

（图1－2）

〔二六〕所求田面积为：平方步。

术解

（以卷第一题〔二六〕为例）

所求田面积为：平方步。

原文

〔二七〕今有邪田^[1]一头^[2]广三十步，一头广四十二步，正从^[3]六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

〔二八〕又有邪田，正广^[4]六十五步，一畔^[5]从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

术曰：并^[6]两广^[7]若袤而半之^[8]，以乘正从若^[9]广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一^[10]。

注释

[1]邪田：直角梯形田。

[2]头：直角梯形底边横放时，以“头”称其上下底，如图1－3。

（图1－3）

[3]正从：高。

[4]正广：高。

[5]畔：直角梯形底纵向时，以“畔”称其上下底，如图1－4。

（图1－4）

[6]并：相加。

[7]两广：直角梯形两底边。

[8]半之：以2相除。

[9]若：或者。

[10]亩法而一：以每亩240平方步作除数，得一结果。

窖穴原始社会晚期，每个村落都有大量的窖穴。窖穴多挖成方形或圆形，在开挖过程中，窖穴的口、底、壁都要求很规整。另外，窖穴的位置选择也很重要，这更有利于储存更多粮食和避免粮食受潮。

译文

〔二七〕现有直角梯形田，上、下底边长分别为30步、42步，高64步，问这块田地的面积是多少？

答：9亩144平方步。

〔二八〕又有一块直角梯形田高为65步，上、下底边长分别为100步、72步。问这块田的面积是多少？

答：23亩70平方步。

算法：上、下底相加所得和的一半，乘以高。或者高的一半，乘以上、下底的和，然后以每亩240平方步除之，即得出结果。

译解

〔二七〕如图1－3，直角梯形田面积=（30＋42）步×64步÷2＝2304平方步＝9亩144平方步。

〔二八〕如图1－4，直角梯形田面积=（100＋72）步×65步÷2＝5590平方步＝23亩70平方步。

术解

（以卷第一题〔二八〕为例）

〔1〕邪田（直角梯形田）面积为：

（上底+下底）×高÷2

〔2〕亩法而一：用240平方步作除数，每240平方步为1亩。

题〔二八〕所求邪田面积为：（100＋72）步×65步÷2＝5590平方步，5590÷240＝23亩70平方步。

原文

〔二九〕今有箕田^[1]，舌广^[2]二十步，踵广^[3]五步，正从三十步。问为田几何？

答曰：一亩一百三十五步。

〔三〇〕又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？

答曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法^[4]而一。

注释

[1]箕田：等腰梯形田。

[2]舌广：等腰梯形长底边。

[3]踵广：等腰梯形短底边，如图1－5所示：

（图1－5）

[4]亩法：即平方步化为亩时所用的除数240。

译文

〔二九〕今有等腰梯形田的长底边为20步，短底边为5步，高为30步。问这块田的面积是多少？

答：1亩135平方步。

〔三〇〕又有一等腰梯形田的长底边为117步，短底边为50步，高135步。问这块田的面积是多少？

答：46亩平方步。

算法：上下底之和除以2，再以高相乘。以每亩240平方步除之，则得其结果。

译解

〔二九〕所求田面积为：

〔三〇〕所求田面积为：

术解

（以卷第一题〔二九〕为例）

〔1〕箕田（等腰梯田）面积=（踵广+舌广）×正从÷2，即（长底边长+短底边长）×高÷2。

〔2〕用240平方步作除数，每240平方步为1亩。

题〔二九〕所求田面积为：

（20＋5）×30÷2＝375平方步，

375平方步÷240＝1亩135平方步。

桔槔桔槔是中国农村历代通用的旧式提水器具。它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶。当人把水桶放入水中打满以后，可借杠杆末端的重力作用，轻易地将水提拉至所需处。

原文

〔三一〕今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？

答曰：七十五步。

〔三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？

答曰：十一亩九十步十二分步之一。

术曰：半周半径相乘得积步。

又术曰：周径相乘，四而一。

又术曰：径自相乘，三之，四而一。

又术曰：周自相乘，十二而一。

译文

〔三一〕现有圆形田，圆周为30步，直径为10步。问田的面积是多少？

答：75平方步。

〔三二〕又有一圆形田，圆周为181步，直径步。问田的面积是多少？

答：11亩平方步。

算法一：以圆周之半与半径相乘可得到圆田的面积。

算法二：圆周与直径相乘，除以4。

算法三：直径与直径相乘，乘以3除以4。

算法四：圆周与圆周相乘，除以12。

砻砻是用来去掉稻粒外壳的一种工具。它用绳悬挂横杆，再将连杆和砻上的曲柄相连。当用两手反复且稍有摆动地推动横杆时，就可以通过连杆曲柄等构件使砻的上半部分旋转起来。这种机器可看成一种曲柄连杆装置。图中，古人正在利用砻去掉稻壳。

译解

〔三一〕圆田面积为：

〔三二〕圆田面积为：平方步（取π＝3），

1亩＝240平方步，

平方步。

术解

术曰列出了四种运算方法，以卷第一题〔三一〕为例说明其运算过程：

第一种算法：

圆田面积＝半周×半径＝＝75平方步。

第二种算法：

圆田面积＝周径相乘÷4＝30步×10步÷4＝75平方步。

第三种算法：

圆田面积＝直径×直径×3÷4＝10步×10步×3÷4＝75平方步。

第四种算法：

圆田面积＝周长×周长÷12＝30步×30步÷12＝75平方步。

原文

〔三三〕今有宛田^[1]，下周三十步，径十六步。问为田几何？

答曰：一百二十步。

〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

答曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

注释

[1]宛田：即扇形田，见图1－6。传统解为球冠形，按这种注解，则本题的算法不准确，如刘徽所言：“此术不验。”本处采用扇形田的理解，则本题的解法不误（参见肖作政先生《宛田非球冠形》一文，载《自然科学史研究》第七卷，1988年第2期）。

（图1－6）

译文

〔三三〕现有扇形田，下周长30步，径长16步。问这块田面积是多少？

答：120平方步。

〔三四〕又有一扇形田，下周长99步，径长51步。问这块田的面积是多少？

答：5亩平方步。

算法：用径长乘以周长，除以4。

甲骨文中的13个数字在中国，数字出现的最早物证是殷商甲骨文（公元前14世纪—公元前11世纪），其中有13个记数单位。一、十、百、千、万，各有专名。这已经蕴涵有十进位制的萌芽。

译解

〔三三〕设扇形弧长为L，半径为R，

则其面积平方步。

〔三四〕扇形田面积平方步。

术解

（以卷一题〔三三〕为例）

宛田（扇形田）面积＝30步×16步÷4＝120平方步

原文

〔三五〕今有弧田^[1]，弦^[2]三十步，矢^[3]十五步，问为田几何？

答曰：一亩九十七步半。

〔三六〕又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七，问为田几何？

答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

注释

[1]弧田：弓形田。

[2]弦：弦长。

[3]矢：弧高。

译文

〔三五〕现有弓形田，弦长30步，弧高15步。问这块田的面积是多少？

答：1亩平方步。

〔三六〕又有一弓形田，弦长步，弧高步。问这块田的面积是多少？

答：2亩平方步。

算法：用弦长乘以弧高，弧高又自乘，两者之和除以2。

译解

〔三五〕如图1－7，由弦长是弧高的2倍得知，此弓形田为半圆形田。所求面积为：

（图1－7）

平方步（取π＝3.14），与古人答案稍有不同，古人在运算时取π＝3。

〔三六〕设弦长步，弧高步，

所求弓形田面积平方步。古人的算法误差较大。

术解

由于卷第一题〔三五〕与〔三六〕术解与译解均有差异，故以两题为例，说明古人算法。

弓形田面积＝（弦×矢＋矢2）÷2，

将题〔三五〕所设条件代入公式，得所求田面积为：

［（30步×15步）＋（15步）2］÷2＝平方步＝1亩平方步，

将题〔三六〕所设条件代入公式，得所求田面积为：

平方步。

连机碓　元朝连机碓是以水为动力的一种谷物加工工具。元代王祯在《农书·农器图谱·机碓》中形容它说：“今人造作水轮，轮轴长可数尺，列贯横木，相交如枪之制。水激轮转，则轴间横木，间打所排碓梢，一起一落舂之，即连机碓也。”这是说连机碓在工作时，以一个大型的立式水轮带动装在轮轴上的一排互相错开的拨板，拨板拨动碓杆，从而使几个碓头间断地相继舂米。

原文

〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，问为田几何？

答：二亩五十五步。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

译文

〔三七〕现有圆环形田，内圆周长是92步，外圆周长是122步，径长是5步。问这块田的面积是多少？

答：2亩55平方步。

算法：内圆周长与外圆周长的和除以2，再乘以径长。

译解

〔三七〕设径长a＝5步，外圆半径为r、外圆周长C＝122步，内圆半径为r＇，内圆周长C＇＝92步。

因公式：C＝2πr，故外圆半径，

内圆半径，

圆环形面积＝外圆面积－内圆面积

术解

按古人的解题法则：将圆环形伸直，使成等腰梯形，按等腰梯形算出其面积。如图1－8。

（图1－8）

所求面积为：

［（中周＋外周）÷2］×径＝×5步＝535平方步＝2亩55平方步。

原文

〔三八〕又有环田^[1]，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。问为田几何？

答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

术曰：置中外周步数^[2]：分母、子各居其下^[3]，母互乘子，分母相乘，通全步^[4]，内分子^[5]，并而半之。径亦通分内子，以乘周为实^[6]。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。

注释

[1]环田：指不足一匝的圆形田，如图1－9。

（图1－9）

[2]置中外周步数：合并内外弧的长度。

[3]分母、子各居其下：意为在处理带有整数的分数时，先将整数放在一边，处理分母、分子。

[4]通全步：将带分数的步数化为假分数的步数。

[5]内分子：“内”意为“纳”。加上分子。

[6]实：被除数。

译文

〔三八〕又有一环田，内圆弧长步，外圆弧长步，径长步，问这块田的面积是多少？

答：4亩平方步。

算法：合并内外圆弧长的步数：使分母、分子各在其整数部分之下，以此分母与分子交互相乘（进行通分）；又将整数部分化为分数，即用分母乘整数步数再加分子（化为假分数）。然后内外圆弧长度相加除以2。以径长的分母乘整步数再加分子，所得之数乘圆弧数（和数之半的分子）为被除数，以（圆弧长与径长）二者之分母相乘为除数，相除得环形田面积步数，相除不尽的余数即是面积步数的分数部分。以亩法（每亩240平方步）除之，便得亩数。